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数学建模与应用1：多目标优化模型求解方案

发布日期：2024-03-12 11:28浏览次数：

数学模型(一般都转化成最小问题)

$\\min{F(x)}=(f_1(x),f_2(x),\\dots,f_m(x))\\\\ ~~\\\\s.t. \\mathrm{x}\\in\\Omega$

决策空间： $\\small\\mathrm{x}=(x_1, x_2,\\dots,x_n)$ 所在的空间 $\\small\\Omega$ ，其中

$\\Omega=\\{x\\in R^n|g_i(x)\\le0,i=1,2,\\dots,p \\}\\\\$

目标空间： $\\small m$ 维向量 $\\small F(x)$ 所在的空间。

定义1：对最小化问题，一个向量 $\\small u=(u_1,u_2,\\dots,u_w)$ 称为支配(优于)另一个向量 $\\small v=(v_1,v_2,\\dots,v_w)$ ，当且仅当 $\\small u_i\\le v_i~~ i=1，2，\\dotsb，m$ 且 $\\small \\exists ~j\\in\\{1，2,\\dotsb,m\\}，u_j<v_j$
定义2：对于任意两个自变量向量 $\\small x_1，x_2\\in\\Omega$ ,如果下列条件成立： $f_i(x_1)\\le f_i(x_2),\\forall i\\in\\{1,2,\\dotsb,m\\}\\\\f_j(x_1)\\le f_j(x_2),\\forall j\\in\\{1,2,\\dotsb,m\\}\\\\$ 则称 $\\small x_1$ 支配 $\\small x_2$ 。
定义3：

如果 $\\small Q$ 中没有支配（优于） $\\small x$ 的解，则称 $\\small x$ 是问题的一个Pareto最优解。
Pareto最优解的全体被称作Pareto最优解集；Pareto最优解集在目标函数空间的像集称为Pareto Front（Pareto前沿，阵（界）面）。

加权法
理想点法(TOPSIS)
分层序列法(就是每次先求出一个最优值，然后把这个最优值当作不等式限制)

把 $\\small m$ 个目标篇按重要程度排序。假定 $\\small f_1(x)$ 最重要， $\\small f_m(x)$ 最不重要。
先求问题 $\\min{f_1(x)}\\\\s.t. x\\in\\Omega$ 的最优解 $\\small x^{(1)}$ 及最优值 $\\small f_1^*$ 。
再求问题 $\\min{f_2(x)}\\\\s.t. x\\in\\Omega_1=\\Omega\\cap\\{x|f_1(x)\\le f_1^*\\}$ 的最优解 $\\small x^{(1)}$ 及最优值 $\\small f_1^*$ 。

重复上面的步骤。

这里选取 NSGA-II 方法
算法简介

首先随机产生种群规模为 $\\small N$ 的初始种群 $\\small P_t$ ，进化代数 $\\small t=0$ 。
开始循环，对 $\\small P_t$ 进行交叉变异操作生成新种群 $\\small Q_t$ 。
取 $\\small R_t=P_t\\cup Q_t$ 。
对 $\\small R_t$ 进行非劣分类。

按非劣等级从低到高选出 $\\small N$ 个个体填充到 $\\small P_{t+1}$ 中。

获取 $\\small R_t$ 中的第一非劣等级个体集，判断并决定该非劣等级能否全被新种群容纳。如果能，将该非劣等级的所有个体填充到新种群中，继续判断下一非劣等级能否全被新种群容纳。
如此反复，直到不能容纳该非劣等级的所有个体,假设为第 $\\small i+1$ 级。对最后不能被完全容纳的非劣组中的个体求其拥挤距离,并选择分布最广的个体填充满新种群。
重复

快速非支配排序方法

首先不被任何点支配的点选出来，成为 $\\small F_1$ 。
把选出来的点支配的点的支配关系全部删除，然后再看现在有哪些点不被任何点支配，成为 $\\small F_2$ .

拥挤距离 $d_i=\\sum_{m=1}^{M}|f_m^{i+1}-f_m^{i-1}|\\\\$

$\\small d_i$ 表示第 $\\small i$ 个个体的拥挤距离。
$\\small i-1$ 和 $\\small i+1$ 是个体 $\\small i$ 沿着 $\\small i$ 所在的Pareto Front Line 的两边邻近的两个个体。
$\\small f_m^{i+1}$ 和 $\\small f_m^{i-1}$ 分别表示 $\\small i-1$ 和 $\\small i+1$ 个个体第 $\\small m$ 个目标函数值。(下面的图 $\\small m=1,2$ )

参数设置

options=gaoptimset('paretoFraction',0.3,'populationsize',100'generations',200,'stallGenLimit',200,'TolFun',1e-10,'PlotFcns',@gaplotpareto);
paretoFraction：最优个体系数这里设为0.3
populationsize：种群大小这里设为100
generations：最大进化代数这里设为200
stallGenLimit：停止代数这里设为200
TolFun：适应度函数偏差这里设为1e-10
gaplotpareto：绘制Pareto前沿

函数引用

[X,FVAL]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b, Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options))
fitnessfcn：函数句柄。
nvars：变量个数。
ub,lb：上下限。
A,b：线性不等式约束。
Aeq,beq：线性等式约束。

函数定义

%%这里定义该函数
function y=Fun(x) 
y(1)=x(1); 
y(2)=(1+x(2))/x(1);

进行计算

%%这里赋初值并且进行多目标优化的计算
fitnessfcn=@Fun;
nvars=2; 
lb=[0.1,0]; 
ub=[1,5]; 
A=[-9,-1;-9,1];
b=[-6;-1]; 
Aeq=[];
beq=[]; 

options=gaoptimset('paretoFraction',0.4,'populationsize',200,'generations',300,'stallGenLimit',300,'TolFun',1e-10,'PlotFcns',@gaplotpareto); 

[x,fval]=gamultiobj(fitnessfcn,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options)

结果

可以先优化出来，得到 fval 然后用 scatter3 进行绘制。
对上面的问题增加条件 $\\min~{x_1+x_2}\\\\$
增加 scatter3(fval(:,1),fval(:,2),fval(:,3))
得到结果

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